幹掉公式 —— numpy 就該這麼學

文 | 太陽雪

來源：Python 技術「ID: pythonall」

機器學習和數據分析變得越來越重要，但在學習和實踐過程中，常常因爲不知道怎麼用程序實現各種數學公式而感到苦惱，今天我們從數學公式的角度上了解下，用 python 實現的方式方法。

友情提示：不要被公式嚇到，它們都是紙老虎

關於 Numpy

NumPy 是使用 Python 進行科學計算的基礎軟件包。除其他外，它包括：

機器學習和數據分析，numpy 是最常用的科學計算庫，可以用極簡的、符合思維習慣的方式完成代碼實現，爲學習和實踐提供了很大的便利

環境準備

創建虛擬環境（可省略），安裝 numpy 包：

pip install numpy

測試安裝：

>>> import numpy
>>>

在下面實踐中，默認將 numpy 引用爲 np：

import numpy as np
...

基礎運算

編程語言大多數運算都是針對簡單數值的，複雜運算是通過相應的數據結構結合程序邏輯計算的。numpy 雖然是針對複雜數據結構（例如矩陣）構造的，但它提供了和簡單數值計算一樣方便的操作。

冪運算

冪運算的運算符爲 ** ，即兩個星號（一個星號表示乘），例如計算 x 的平方：x**2，x 的立方：x**3，等等

開方，相當於計算 1/2 次方，即 x**(1/2) 或者 x**0.5，因爲常用 numpy 提供了便捷函數，sqrt，例如對數字 x 開平方，就是 np.sqrt(x).

實際上平方運算也有便捷方法：np.square

絕對值

絕對值表示一個數軸上的值距原點的距離，表示爲 |x|，numpy 提供便捷方法abs 來計算，例如 np.abs(x)，就爲 x 的絕對值

理解向量和矩陣

線性代數是機器學習和數據分析的基礎數學之一，而向量和矩陣式又是線性代數的基礎概念，所以理解向量和矩陣非常重要。

向量

一般數據被分爲標量和向量，標量比較容易理解，即數軸上的一個數值

向量直觀的認識是一組數值，可以理解爲一維數組，但是爲啥常見定義表示：具有方向的數值，方向指的是啥？這個問題困擾了我很多年（苦笑）。實際是因爲在開始學習線性代數時，直接從公式定理開始，而沒有了解它的原理和來源。

向量的方向指的是，向量所在座標系的原點指向該向量在座標系中表示的點的方向，例如在平面直角座標系中，向量 [1,2] 表示 x 軸爲 1，y 軸爲 2 的一個點，從原點，即 [0,0] 點指向這個點的方向，就是這個向量的方向，擴展的三維座標系，再到 n 爲座標系（當然超過三位人類就比較難以理解了），向量元素的個數表示向量屬於幾維座標系，但無論多少維，都可以畫出原點指向向量點的方向。

因爲線性代數研究的是向量及向量組（矩陣）的純數學計算，所以丟棄了座標系的概念，只保留了向量的樣子，所以造成了向量難以理解的現象。

簡單說，向量就是一個數值的數組。

矩陣

理解了向量，矩陣理解起來就容易了，相當於一組向量，即座標系中的多個點的集合，矩陣運算，就相當於多個向量的運算或變換。

可能這裏比較繞或冗餘，先解釋到這裏，後面的文章中會進一步解釋向量和矩陣的實際意義

初始化

numpy 中，提供了多種產生向量和矩陣的方法，例如用 array 可以將 python 數組初始化爲 numpy 矩陣：

m = np.array([(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)])

就可以創建一個 向量維度爲 3，個數爲 3 的矩陣

基本運算

numpy 特別擅長處理向量和矩陣的運算，例如乘法，即給向量中的每個數值乘以乘數，之間寫代碼的話，可以遍歷向量，爲每個值乘以乘數。

用 numpy 就簡單很多：x * 2，就像做標量運算一樣，感覺向量同一個數值一樣。

矩陣冪運算

向量、矩陣既然可以看成一個數，冪運算就很容易理解了，例如矩陣

矩陣 m

m 平方就可以寫成 m**2, 結果爲：

矩陣平方

矩陣點積

不同維度的矩陣可以做乘法操作，但不是一般的乘法操作，操作被稱爲點積，爲了用 numpy 表示，需要用 dot 函數，例如矩陣 m 和 n

矩陣 m、n

代碼爲 m.dot(n)，就會得到如下結果：

矩陣點積

求和與連乘

統計學公式中，求和運算很常見，例如對矩陣求和：

矩陣求和

表示對矩陣 m 中所有元素進行求和，nunpy 通過 sum 完成計算： m.sum()

連乘和求和類似，將矩陣中所有元素做乘積運算:

矩陣連乘

numpy 通過 prod 完成計算，如矩陣 m 的連乘爲 m.prod()

實踐

瞭解了上面的各種基礎運算後，做些實踐

計算均值

向量均值公式爲：

向量均值公式

分析公式，其中 n 爲向量 x 的元素數量，numpy 的向量，通過 size 獲取，後面是向量求和，用 sum 完成，最後代碼如下：

(1/x.size)*x.sum()

或者

x.sum()/x.size

實現 Frobenius 範數

現在來個複雜點的，Frobenius 範數，公式如下:

Frobenius 範數公式

先不用糾結 Frobenius 公式的意義，我們只看如何用 python 實現，分析公式，可以看到，首先對矩陣的每個元素做平方運算，然後求和，最後對結果進行開方，那麼就從裏向外寫

矩陣元素求和，根據前面所述，寫成 m**2，會得到新的矩陣，然後求和，直接可寫爲：

np.sqrt((m**2).sum())

藉助 numpy 實現公式，極爲簡潔。

樣本方差

我們再看一個公式：

樣本方差公式

其中表示向量 x 的均值，上面計算過，那麼套用起來就是：

np.sqrt(((x-(x.sum()/x.size))**2).sum()/(x.size-1))

基本依據上面瞭解的寫法可以理解和寫出，不過括號有點多，如果不參考公式，估計看不清實現的啥，好在 numpy 將均值運算通過 mean 方法簡化了，例如向量 x 的均值，可以寫爲：np.mean(x)，所以上面的代碼可以簡化爲：

np.sqrt(((x-np.mean(x))**2).sum()/(x.size-1))

上面公式實際上是樣本標準差公式，對於標準差，numpy 提供了簡便方法 std, 直接用 np.std(x) 就可以計算，當然現在我們根據標準差公式：

標準差

很容易寫出來 numpy 實現，趕緊試試吧。

歐拉距離

前面寫模擬疫情擴散時，用到了歐拉距離，當時沒有理解好 numpy 公式表達能力，所以計算時分了三步，現在如果要計算兩個向量之間的歐拉距離，一行代碼就能搞定，先複習下歐拉距離公式，向量 a 與 向量 b 的歐拉距離爲：

歐拉距離公式

numpy 實現爲：

np.sqrt(((a-b)**2).sum())

由於歐拉距離應用廣泛，所以 numpy 在線性代數模塊中實現了，所以瞭解 numpy 實現數學公式的方法後，可以簡化爲：

np.linalg.norm(a-b)

總結

numpy 是個博大精深的數學計算庫，是 python 實現科學計算的基礎，今天我們從數學公式的角度，瞭解瞭如何轉換爲 numpy 的代碼實現，限於篇幅，雖然僅是 numpy 的冰山一角，但卻可以成爲理解 numpy 運算原理的思路，在數據分析或者機器學習，或者論文寫作過程中，即使不瞭解 numpy 中簡潔的運算，也可以根據數學公式寫出代碼實現，進而通過實踐學習和了解 numpy 就更容易了

參考

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來源：https://mp.weixin.qq.com/s/rjmI-ofWZQz7xWkCxN7_3g

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